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1、二次函数知识点总结 1.定义：一般地,如果 是常数, ,那么 叫做 的二次函数. 2.二次函数 的性质 （1）抛物线 的顶点是坐标原点,对称轴是 轴. （2）函数 的图像与 的符号关系. ①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点,对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 . 3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线. 4.二次函数 用配方法可化成： 的形式,其中 . 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时,开口向上；当 时,开口向下； 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地, 轴记作直线 . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： ,∴顶点是 ,对称轴是直线 . （2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( , ),对称轴是直线 . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线 中, 的作用 （1） 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样. （2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,故：① 时,对称轴为 轴；② （即 、 同号）时,对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时,对称轴在 轴右侧. （3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时, ,∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0, ）： ① ,抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧,则 . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标。
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