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20世纪30年代几位数学家讨论这样一个问题：
平面上任给5个点，若其中任意3个点不共线，求证：必有4点能构成凸四边形
先解释一下上面的凸四边形和凹四边形
凸四边形：每个内角都小于180度的四边形或者说四边形都在每条边所在直线的同侧；
凹四边形：至少1个内角大于180度的四边形或者说四边形在某条边所在直线两侧。
对于上述问题，女数学家埃斯特.克莱因给出了证明，她的证明如下：
平面上任意3点都不共线的5点，共如下3种情况
第一：五点自身构成一个凸五边形，其中任意四点构成一个凸四边形；
第二;其中一点被其余四点包围，则外部的四点构成一个凸四边形；
第三：其中两点被其余三点构成的三角形包围，则过这两点作直线，该直线把三角形分成两部分，必有两点在这条直线两侧，则这两点和直线上两点构成一个凸四边形。
综上所述：平面上任给5个点，若其中任意3个点不共线，必有4点能构成凸四边形
好精妙绝伦的证明，中学生就能看懂上述证明。
乔治.赛凯赖什进一步证明：平面上任意不共线的N个点中，总又n个点构成凸n边形的必要条件是N≥2n-1,并由此赢得克莱因芳心。
大数学家保罗.埃尔德什给这个问题起了一个好听的问题：甜蜜的问题。
2、什么是凸四边形，中考四边形几何压轴题
2017年中考刚结束，很多中考生总算可以暂时扔下厚重的书本，可以好好放松一下。不过，对于另外一部分特殊的学生群体，中考气氛却越来越紧张。初二的学生马上面临期末考试，更重要是下半年直升初三。毫不夸张的说，这些“准初三”学生随着2017年中考一结束，他们的2018年中考“战争”就打响了。
2018年中考会考什么？要考什么？所有家长、学生和老师都非常关心，但大家永远要记住一点，具体题目是没法猜测，唯一能做的就是努力自己，学好自己，以不变应万变。就像刚参加完2017年中考的考生，他们在过去整整一年中考复习冲刺，只有不断冲刺，不断努力，拒绝投机取巧，才能真正战胜中考。
因此，对于2018年中考生来说，只好踏踏实实去努力学习，掌握好每一个知识点，吃透数学思想方法，学会用知识去解决具体实际问题，才能在中考“大浪”中脱颖而出。接下去本人会不断推出一些跟中考相关文章，希望考生们能细细阅读，认真对待。借用一位读者话来说，如果一年下去，能把本人所写的题目都去吃透，其实面对中考数学问题是不大。
几何相关类型问题一直都是中考数学的热点，中考数学常考题型，在中考数学中仍占有相当的比例，这主要是基于几何知识能很好体现数学逻辑关系，考查考生思维能力。今天我们就一起来讲讲中考数学热点问题，几何中跟四边形相关的知识内容。
一、四边形的相关知识概念
1、四边形
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
2、凸四边形
把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。
3、对角线
在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
4、四边形的不稳定性
三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。
二、平行四边形相关知识概念
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah
典型例题1：
考点分析：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．所有
题干分析：
（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；
（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=1/2BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故求出EF=BP的值，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．
解题反思：
本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
四边形知识内容（一般包括平行四边形、矩形、正方形、菱形）是初中数学几何主要考查部分，也是每年中考必考的几何考点。
同时，跟四边形相关的还常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题出现。
在一些综合问题中还会考查到一些数学思想：如数形结合思想、分类讨论思想、几何运动变化等数学思想。
三、矩形相关知识概念
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
四、菱形相关知识概念
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
典型例题2：
题干分析：
（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．
（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问题．
解题反思：
本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．
五、正方形相关知识概念
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）.
六、梯形相关知识概念
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
4、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
几何综合问题一直是很多考生的“恶梦”，此类题型不仅要求考生具有一定层次、深度的推理过程，更考查考生的逻辑思维能力、基本图形分析能力和数学语言的表达能力等等，自然这类题型受到命题老师的青睐。同时几何论证题也是中考压轴题的背景和铺垫，函数型综合题和几何型综合题都是以几何图形为背景的。
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