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什么是凸四边形,中考四边形几何压轴题(甜蜜的问题——一道题擦出的爱情火花)

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内容导航:1、什么是凸四边形:甜蜜的问题——一道题擦出的爱情火花2、什么是凸四边形,中考四边形几何压轴题

1、什么是凸四边形:甜蜜的问题——一道题擦出的爱情火花

20世纪30年代几位数学家讨论这样一个问题:

平面上任给5个点,若其中任意3个点不共线,求证:必有4点能构成凸四边形

先解释一下上面的凸四边形和凹四边形

凸四边形:每个内角都小于180度的四边形或者说四边形都在每条边所在直线的同侧;

凹四边形:至少1个内角大于180度的四边形或者说四边形在某条边所在直线两侧。

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对于上述问题,女数学家埃斯特.克莱因给出了证明,她的证明如下:

平面上任意3点都不共线的5点,共如下3种情况

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第一:五点自身构成一个凸五边形,其中任意四点构成一个凸四边形;

第二;其中一点被其余四点包围,则外部的四点构成一个凸四边形;

第三:其中两点被其余三点构成的三角形包围,则过这两点作直线,该直线把三角形分成两部分,必有两点在这条直线两侧,则这两点和直线上两点构成一个凸四边形。

综上所述:平面上任给5个点,若其中任意3个点不共线,必有4点能构成凸四边形

好精妙绝伦的证明,中学生就能看懂上述证明。

乔治.赛凯赖什进一步证明:平面上任意不共线的N个点中,总又n个点构成凸n边形的必要条件是N≥2n-1,并由此赢得克莱因芳心。

大数学家保罗.埃尔德什给这个问题起了一个好听的问题:甜蜜的问题。

2、什么是凸四边形,中考四边形几何压轴题

2017年中考刚结束,很多中考生总算可以暂时扔下厚重的书本,可以好好放松一下。不过,对于另外一部分特殊的学生群体,中考气氛却越来越紧张。初二的学生马上面临期末考试,更重要是下半年直升初三。毫不夸张的说,这些“准初三”学生随着2017年中考一结束,他们的2018年中考“战争”就打响了。

2018年中考会考什么?要考什么?所有家长、学生和老师都非常关心,但大家永远要记住一点,具体题目是没法猜测,唯一能做的就是努力自己,学好自己,以不变应万变。就像刚参加完2017年中考的考生,他们在过去整整一年中考复习冲刺,只有不断冲刺,不断努力,拒绝投机取巧,才能真正战胜中考。

因此,对于2018年中考生来说,只好踏踏实实去努力学习,掌握好每一个知识点,吃透数学思想方法,学会用知识去解决具体实际问题,才能在中考“大浪”中脱颖而出。接下去本人会不断推出一些跟中考相关文章,希望考生们能细细阅读,认真对待。借用一位读者话来说,如果一年下去,能把本人所写的题目都去吃透,其实面对中考数学问题是不大。

几何相关类型问题一直都是中考数学的热点,中考数学常考题型,在中考数学中仍占有相当的比例,这主要是基于几何知识能很好体现数学逻辑关系,考查考生思维能力。今天我们就一起来讲讲中考数学热点问题,几何中跟四边形相关的知识内容。

一、四边形的相关知识概念

1、四边形

在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形

把四边形的任一边向两方延长,如果其他个边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线

在四边形中,连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性

三角形的三边如果确定后,它的形状、大小就确定了,这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后,它的形状不能确定,这就是四边形所具有的不稳定性,它在生产、生活方面有着广泛的应用。

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二、平行四边形相关知识概念

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

(1)平行四边形的邻角互补,对角相等。

(2)平行四边形的对边平行且相等。

推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

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3、平行四边形的判定

(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形

(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah

典型例题1:

什么是凸四边形,中考四边形几何压轴题(甜蜜的问题——一道题擦出的爱情火花)

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考点分析:

正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.所有

题干分析:

(1)先根据EQ⊥BO,EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°.根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH,故∠QEM=∠HBM.由ASA定理得出△APB≌△HFE,故可得出结论;

(2)由勾股定理求出BP的长,根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=1/2BP,再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长,由(1)知,△APB≌△HFE,故求出EF=BP的值,再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论.

解题反思:

本题考查的是正方形的性质,熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键.

四边形知识内容(一般包括平行四边形、矩形、正方形、菱形)是初中数学几何主要考查部分,也是每年中考必考的几何考点。

同时,跟四边形相关的还常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题出现。

在一些综合问题中还会考查到一些数学思想:如数形结合思想、分类讨论思想、几何运动变化等数学思想。

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三、矩形相关知识概念

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质

(2)矩形的四个角都是直角

(3)矩形的对角线相等

(4)矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形

(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形

(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=长×宽=ab

什么是凸四边形,中考四边形几何压轴题(甜蜜的问题——一道题擦出的爱情火花)

四、菱形相关知识概念

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质

(2)菱形的四条边相等

(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

(4)菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形

(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

典型例题2:

什么是凸四边形,中考四边形几何压轴题(甜蜜的问题——一道题擦出的爱情火花)

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题干分析:

(1)如图1中,过点A作AH⊥BC于H,分别在RT△ABH,RT△AHC中求出BH、HC即可.

(2)如图1中,过点A作AP⊥AB交BC于P,连接PG,由△ABD≌△APG推出BD=PG,再利用30度角性质即可解决问题.

(3)如图2中,作AH⊥BC于H,AC的垂直平分线交AC于P,交BC于M.则AP=PC,作DK⊥AB于K,设BK=DK=a,则AK,AD=2a,只要证明∠BAD=30°即可解决问题.

解题反思:

本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,学会设参数解决问题,属于中考压轴题.

五、正方形相关知识概念

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等

(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角

(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:

先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

先证它是菱形,再证有一个角是直角。

(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:

先证明它是平行四边形;

再证明它是菱形(或矩形);

最后证明它是矩形(或菱形).

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六、梯形相关知识概念

1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

2、梯形的判定

(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质

(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。

(3)等腰梯形的对角线相等。

(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定

(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形

(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。

几何综合问题一直是很多考生的“恶梦”,此类题型不仅要求考生具有一定层次、深度的推理过程,更考查考生的逻辑思维能力、基本图形分析能力和数学语言的表达能力等等,自然这类题型受到命题老师的青睐。同时几何论证题也是中考压轴题的背景和铺垫,函数型综合题和几何型综合题都是以几何图形为背景的。

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