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内容导航：1、容斥问题50题：公考小学堂—容斥问题2、容斥问题50题，数资容斥原理的两大经典题型1、容斥问题50题：公考小学堂—容斥问题
【问题】现有50名顾客选购粽子，喜欢甜口的有40人，喜欢咸口的有31人，两种都不喜欢的有4人，则两种都喜欢的有几个人？
在行测考试中，容斥原理令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不到头绪，但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解。下面和大家一起对该题型分两种情况进行剖析。
一、两集合类型
1.解题技巧
题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：
A∪B=A+B-A∩B
快速解题技巧：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。
2.真题示例
【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有()
A 27人 B 25人 C 19人 D 10人
【解析】B。直接带入公式为：50=31+40+4-A∩B ，得 A∩B=25，所以答案为B。
二、三集合类型
1.解题步骤
涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧
三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数
3.真题示例
【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。问接受调查问卷的学生共有多少人?()
A.120 B.144 C.177 D.192
【解析】A。先画图，填充三个集合公共部分数字24，再推其他数字;根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数 =63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝+24+15。根据上述含义分析得到：x+y+z只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+y+z的值为46人;得本题答案为120。
【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?
A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
【解析】A。根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数。100=58+38+52-{18+16+(12+x)｝+12+0，因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得：x=14。52=x+12+4+y=14+12+4+y，得到y=22人。
【例4】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？
A.37 B.26 C.35 D.34
【解析】A。设三项全部合格的建筑防水卷材产品有x种，则有8+10+9-7-2*1=52-x,解出x=34,选D。
【例5】某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（ ）
A.69 B.65 C.57 D.46
【解析】D。只看过其中两部电影的人数是x人，则有89+47+63-x-2*24=125-20,x=46人，选D。
2、容斥问题50题，数资容斥原理的两大经典题型
在数资中容斥问题是高频考点之一
今天，小编和大家分享
容斥问题的两大重点题型
快来和小编开启今日份学习之旅吧~
重要知识点容斥问题是历年的常考题型, 也是小伙伴们的的得分重点。该类题目中会给出多个条件(概念), 各条件(概念) 之间存在交叉关系。
例如: 某班参加物理竞赛的有30 人, 参加数学竞赛的有32 人, 两科都参加的有20 人。在这里物理竞赛是第一个条件, 数学竞赛是第二个条件, 满足第一个条件和第二个条件的人数分别是30 人和32 人, 同时两科都参加的有20 人, 这20 人是即参加物理竞赛又参加数学竞赛的, 说明物理竞赛和数学竞赛存在交集。
通过以上描述可知, 在做题的过程中, 要知道容斥问题的题目特征是非常重要, 同时确定了题型之后我们要知道如何解决这类问题。容斥问题在考试中考查两大类题型:两集合和三集合。这两类题型都有相应的公式, 以及需要我们注意的问题。快来和小编一起破解这两大类题型吧~
【例1】（2019江苏）市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况, 其中108 人看过甲频道, 36 人看过乙频道, 23 人既看过甲频道又看过乙频道, 则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是:
A. 17 B. 22 C. 29 D. 38
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查容斥原理中的二集合容斥原理，用公式法解题。
第二步，设受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数为x，根据二集合容斥原理公式可列方程：108＋36－23＝150－x，解得x＝29。因此，选择C选项。
【例2】(2018年联考)某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级: 两项测评都不合格的为次品, 仅一项测评合格的为中品, 两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2 倍, 测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6 ∶ 5。若该批产品次品率为10%, 则该批产品的优品率为:
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。
第二步，赋值优品数为2，则只有测评Ⅰ合格的为4，那么测评Ⅰ合格的为6。根据合格之比为6∶5，可推知测评Ⅱ合格的为5，则只有测评Ⅱ合格的为5－2＝3，那么合格的为6＋5－2＝9，由产品次品率为10%，可知合格率为90%。则不合格产品为1，总数为10。
第三步，该产品的优品率为2/10=20%
因此，选择C选项。
【例3】（2020年新疆）某单位共有240名员工, 其中订阅A 期刊的有125 人, 订阅B 期刊的有126 人, 订阅C 期刊的有135 人, 订阅A、B 期刊的有57 人, 订阅A、C 期刊的有73人, 订阅3 种期刊的有31 人, 此外, 还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人?
A. 57 B. 64 C. 69 D. 78
【答案】B
【解析】
第一步，本题考查容斥原理。
第二步，题目中满足两个条件的集合人数是分别给出的，应用三集合标准型容斥原理公式解题。设订阅B、C期刊的有x人，可列方程：125＋126＋135－57－73－x＋31＝240－17，解得x＝64（也可利用尾数法求得尾数为4）。
因此，选择B选项。
【例4】（2019年河北）某班参加学科竞赛人数40人, 其中参加数学竞赛的有22 人, 参加物理竞赛的有27 人, 参加化学竞赛的有25 人, 只参加两科竞赛的有24 人, 参加三科竞赛的有多少人?
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。
第二步，设参加三科竞赛的有x人，根据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。
因此，选择C选项。
以上就是今天的备考技巧
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