本文从实际的幅度计算中推导出RC低通滤波器的原理，并介绍了相移的思路方向，值得一看。
我们在示波器上看到的电信号是一条电压随时间变化的线。在任何给定时刻，信号只有一个电压值，称为信号的时域表示。示波器的显示很直观，但也有一定的局限性，因为它不直接显示信号的频率内容。
与时域表示相反，频域表示(也称为频谱)通过识别同时存在的各种频率分量来传达关于信号的信息。
正弦波和方波的时域表示
正弦波和方波的频域表示
滤波器是一种移除或“过滤掉”特定范围频率成分的电路。换句话说，它将信号的频谱分成可以通过的频率成分和被阻挡的频率成分。
假设我们有一个由完美的5 kHz正弦波组成的音频信号。我们知道一个正弦波在时域是什么样子，在频域只能看到5 kHz的频率“峰值”。现在假设我们激活一个500 kHz振荡器，将高频噪声引入音频信号。
示波器上看到的信号仍然只是每个时刻都有一个值的电压序列，但信号看起来会有所不同，因为其时域变化现在必须反映5 kHz正弦波和高频噪声波动。然而，在频域中，正弦波和噪声是独立的频率成分，同时存在于这一信号中。正弦波和噪声占据了信号频域表示的不同部分(如下图所示)，这意味着我们可以通过引导信号通过低频的电路，阻断高频来滤除噪声。
如果一个滤波器通过低频而阻挡高频，则称为低通滤波器。如果它阻挡低频，让高频通过，那就是高通滤波器。也有仅通过相对较窄频率范围的带通滤波器，以及仅阻挡相对较窄频率范围的带阻滤波器。
滤波器也可以根据用于实现电路的元件类型来分类。无源滤波器使用电阻、电容和电感；这些元件不具备放大能力，因此无源滤波器只能维持或降低输入信号的幅度。另一方面，有源滤波器既可以滤波信号，也可以应用增益，因为它包括晶体管或运算放大器等有源元件。
具有Sallen-Key拓扑的有源低通滤波器
为了创建无源低通滤波器，我们需要将阻性元件与电抗元件相结合。换句话说，我们需要一个由电阻和电容或电感组成的电路。理论上，就滤波能力而言，电阻-电感(RL)低通拓扑等效于电阻-电容(RC)低通拓扑。但实际上，阻容版本更常见，因此本文的其余部分将重点讨论RC低通滤波器。
RC低通滤波器
如图所示，将一个电阻与信号路径串联，将一个电容与负载并联，可以产生RC低通响应。在图中，负载是单个元件，但在实际电路中，它可能更复杂，如模数转换器、放大器或示波器的输入级，用于测量滤波器的响应。
如果认识到电阻和电容构成了一个频率相关的分压器，就可以直观地分析RC低通拓扑的滤波作用。
RC低通滤波器，使其看起来像一个分压器。当输入信号的频率较低时，电容器的阻抗相对于电阻器的阻抗较高；因此，大部分输入电压通过电容(以及与电容并联的负载)下降。当输入频率较高时，电容的阻抗相对于电阻的阻抗较低，这意味着电阻两端的电压降低，传输到负载的电压减少。因此，低频通过，高频被阻挡。
在上面的音频系统中，我们希望保留5kHz的信号，抑制500kHz的信号。这意味着我们需要一个滤波器从5 kHz到500 kHz的传输转换到阻塞。
滤波器不引起明显衰减的频率范围称为通带，滤波器引起明显衰减的频率范围称为阻带。模拟滤波器，如RC低通滤波器，总是从通带逐渐过渡到阻带。这意味着不可能识别滤波器停止传输信号并开始阻挡信号的频率。但是，工程师需要简明扼要地总结滤波器频率响应的方法，这就是截止频率概念发挥作用的地方。
当我们查看RC滤波器的频率响应图时，我们会注意到“截止频率”这一术语并不十分准确。信号频谱被“切割”成两个镜像，一个被保留，另一个被丢弃，这是不适用的，因为随着频率从低于截止点移动到高于截止值，衰减逐渐增加。
RC低通滤波器的截止频率实际上是输入信号幅度降低3dB时的频率(选择该值是因为3dB幅度降低相当于功率降低50%)。所以截止频率也叫-3 dB频率，其实更准确，信息量更大。术语带宽是指滤波器通带的宽度。对于低通滤波器，带宽等于-3 dB频率(如下图所示)。
如上所述，RC滤波器的低通行为是由电阻器的频率无关阻抗和电容器的频率相关阻抗之间的相互作用引起的。为了确定滤波器频率响应的细节，我们需要从数学上分析电阻(R)和电容(C)之间的关系，我们也可以改变这些值来设计满足精确规格的滤波器。RC低通滤波器的截止频率(f C)计算如下：
让我们看一个简单的设计例子。电容值比电阻值更具限制性，因此我们将从一个常见的电容值(例如10 nF)开始，然后我们将使用此公式来确定所需的电阻值。目标是设计一个滤波器，保持5 kHz音频波形，抑制500 kHz噪声波形。我们将尝试100 kHz的截止频率，并仔细分析该滤波器对两个频率分量的影响。
因此，160电阻和10 nF电容的组合将为我们提供一个频率响应非常接近的滤波器。
我们可以利用典型分压器计算出的频率相关型来计算低通滤波器的理论性能。电阻分压器的输出表示如下：
RC滤波器使用等效结构，但我们用电容代替R2。首先，我们用电容器的电抗(XC)代替R2(在分子中)。接下来，我们需要计算总阻抗，并将其放入分母。因此，我们有：
电容器的电抗代表电流的相反方向，但与电阻不同，它取决于通过电容器的信号频率。因此，我们必须计算特定频率的电抗，我们使用的公式如下：
在上述设计示例中，r 160，C=10nF。假设VIN的幅度为1 V，我们可以简单地将V IN从计算中移除。首先，让我们计算正弦波频率下的VOUT幅度：
正弦波的振幅基本不变。这很好，因为我们的目标是在抑制噪声的同时保持正弦波。这个结果并不奇怪，因为我们选择的截止频率(100 kHz)远高于正弦波频率(5 kHz)。
现在让我们看看滤波器如何成功衰减噪声成分。
噪声幅度只有其原始值的20%左右。
评估滤波器对信号影响的最便捷方法是查看滤波器的频率响应图。这些图通常称为波特图，纵轴是振幅(分贝),横轴是频率；横轴通常具有指数标度，因此1Hz和10Hz之间的物理距离与10Hz和100Hz以及100Hz和1kHz之间的物理距离相同。这种表示法使我们能够在很大的频率范围内快速准确地评估滤波器的功能。
如果输入信号的幅度为1 V，频率等于水平轴上的相应值，则曲线上的每个点代表输出信号的幅度。例如，当输入频率为1 MHz时，输出幅度(假设输入幅度为1 V)将为0.1 V(因为-20 dB相当于10倍的缩减系数)。
通带中的曲线几乎完全平坦，然后随着输入频率接近截止频率，曲线开始更快下降。最后，衰减的变化率稳定在20 dB/decade。也就是说，输入频率每增加10倍，输出信号的幅度就会降低20 dB。
如果我们仔细绘制我们在本文前面设计的滤波器的频率响应，我们会看到，5 kHz时的幅度响应基本上为0 dB(即几乎为零衰减)，500 kHz时的幅度响应约为-14 dB(对应于0.2的增益)。这些值与我们在上一节中执行的计算结果一致。
因为RC滤波器总是从通带过渡到阻带，又因为衰减永远不会达到无穷大，所以我们无法设计出一个“完美”的滤波器——对正弦波没有影响，完全消除噪声的滤波器。相反，我们总是需要权衡。如果我们将截止频率移近5 kHz，我们将有更多的噪声衰减，但我们想要发送到扬声器的正弦波将衰减更多。如果我们将截止频率移近500 kHz，正弦波频率下的衰减会降低，但噪声频率下的衰减也会降低。
到目前为止，我们已经讨论了滤波器修改信号中各种频率分量幅度的方式。然而，除了幅度效应之外，电抗电路元件总是引入相移。
相位的概念是指周期信号在一段时间内特定时刻的值。因此，当我们说电路导致相移时，我们的意思是它将导致输入信号和输出信号之间的失准：输入和输出信号不再同时开始和结束它们的周期。相移值(例如，45或90)表示产生了多少未对准。
电路中的每个电抗元件都会引入90相移，但这种相移不会同时发生。输出信号的相位与输出信号的幅度一样，随着输入频率的增加而逐渐变化。在RC低通滤波器中，我们有一个电抗元件(电容)，因此电路最终会产生90相移。
与幅度响应一样，通过检查横轴代表指数频率的图表，可以最容易地评估相位响应。大致情况描述如下，然后我们可以通过检查图纸来填充细节。
相移最初为0。它逐渐增加，直到在截止频率达到45；在这部分响应中，变化率在增加。
截止频率之后，相移继续增加，但变化率在下降。当相移接近90时，变化率变得非常小。
实线是幅度响应，虚线是相位响应。
截止频率为100 kHz。注意，截止频率下的相移为45。
到目前为止，我们假设RC低通滤波器由一个电阻和一个电容组成。这种配置是一阶滤波器。
无源滤波器的“阶数”取决于电路中存在的电抗元件(即电容或电感)的数量。高阶滤波器有更多的无源器件，导致更多的相移和更陡的衰减。通过向滤波器添加电抗元件，例如，从一阶到二阶或者从二阶到三阶，最大斜率将增加20db/十倍。更陡的斜率被转换成从低衰减到高衰减的更快转换，因此当一阶滤波器不具有从噪声分量中分离期望频率分量的宽带时，可以利用多阶滤波器来实现目的。
滤波器是以不同方式对信号频谱的不同部分做出反应的电路。低通滤波器被设计成通过低频分量并阻挡高频分量。
低通滤波器的截止频率表示滤波器从低衰减变为显著衰减的频率区域。
RC低通滤波器的输出电压可以通过将电路视为由(与频率无关的)电阻和(与频率有关的)电抗组成的分压器来计算。
幅度(以dB为单位，在纵轴上)和频率(以Hz为单位，在横轴上)的曲线图是检查滤波器理论性能的方便有效的方法。我们还可以利用相位与指数频率之间的关系来确定施加于输入信号的相移量。
二阶滤波器提供更陡的衰减；当信号不能提供所需频率之间的宽带分离时，这种二阶响应是有用的
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回顾唐子红
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